Question

这个正弦函数sinx的无穷乘积展开式怎么证明

Answer 1

1、正弦函数的幂级数展开式： sinZ=ZΣ(n=0～∞){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}=Zf(Z) 注： (1)Z为所有复数时，该级数都收敛， (2)f(Z)的所有零点为c(n)=nπ(n=±1、±2、……±∞) 2、设f(Z,m)=Σ(n=0～m){[(-1)^n*Z^(2n)]/(2n+1)!}， f(Z,m)的所有零点为c(n,m)(n=±1、±2、……±m) 3、由代数基本定理得：若b(n)(n=1～M)是g(Z,M)=1+Σ(n=1～M)[a(n)*Z^n]的所有零点，则g(Z,M)=Π(n=1～M)[1-Z/b(n)] 故f(Z,m)=Π(n=1～m)[1-Z2/c2(n,m)] 4、取m→∞得： c(n,m)→c(n) f(Z,m)→f(Z) 即sinZ=ZΠ(n=1～∞)[1-Z2/(nπ)2] 令Z=xπ得： sin(πx)=(πx)∏(n=1～∞)(1-x2/n2).