Question

线性代数问题

线性代数问题如图求解

Answer 1

解:
r1+ar2
0 1+ab a 0
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

按第1列展开
1+ab a 0
-1 c 1
0 -1 d

c3+dc2
1+ab a ad
-1 c 1+cd
0 -1 0

按第3行展开
1+ab ad
-1 1+cd

行列式 = (1+ab)(1+cd)+ad
= 1 + ab + cd + ad + abcd.

不用展开定理:
解: D =
r1+ar2
0 1+ab a 0
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

r1+(1+ab)r3
0 0 a+c+abc 1+ab
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

r1+(c+abc)r4
0 0 0 1+ab+d(a+c+abc)
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d

第1行依次与2,3,4行交换, 行列式乘(-1)
-1 b 1 0
0 -1 c 1
0 0 -1 d
0 0 0 1+ab+d(a+c+abc)

此为上三角行列式

行列式 = 1 + ab + cd + ad + abcd.