Question

大学物理题目

大学物理题目题目：
在以加速度为a向上运动的电梯内,挂着一根进度系数为k的弹簧,弹簧下挂着一质量为m的物体,
,、物体相对电梯的度为0,当电梯的加速度忽然为0后,电梯内的观察者看到物体的最大速度为多少
解答：
以电梯为参考系 △x=ma/k,根据能量守恒得,0.5k△x²=0.5mv²,得v=√（ma²/k)
问什么只考虑弹簧的变化,而忽视物体位置的的变动呢?不应该是0.5k△x²=0.5mv²+mg△x?

还有请问一下这题可以用积分的知识做吗？怎么做呢？？

Answer 1

你提到的mg那项实际上是被消掉了，他的解答里边把这一部分跳过去了（就如同楼上的解答那样）
首先，考虑电梯在最初的加速运动过程中，由于物体和电梯相对静止，所以根据物体此时具有的加速度a，可以得到此时弹簧的伸长量，即kx1=ma+mg（x1指弹簧伸长量，之后的x2同）
之后，考虑电梯加速度为0之后。容易发现，此时弹簧的伸长量会逐渐缩短，而当弹簧缩短到满足kx2=mg的时候，物体的速度最大。因为弹簧再缩短时，其拉力会小于重力，导致物体速度下降。
之后考虑两次的能量变化，第一次时，弹簧的势能是0.5k(x1)^2，第二次时，弹簧的势能是0.5k(x2)^2。然后两次的势能变化，其中一部分变成了动能0.5mv^2，另一部分变成了物体的重力势能mg△h=mg(x1-x2)。所以就有——
0.5k(x1)^2 - 0.5k(x2)^2 = 0.5mv^2 + mg(x1-x2)
然后你就把x1、x2换成k的表达式，带进去，你算一下v的结果，就是他那个结果。
积分做的话也可以，只不过是相当于把弹簧势能公式自己推了一下而已。
首先物体受到的弹簧的力是F=kx，根据功的定义，弹簧在从x1收缩至x2时，做功就是
W=（注意，这个值是负的，因为弹簧对外做功）
然后积出来，就是0.5k(x1)^2 - 0.5k(x2)^2，然后就和上面一样了，一部分变成动能，一部分变成重力势能……
当然，上面这些是最常规的办法，规规矩矩考虑弹簧势能、重力势能，一点点解，得到最后的结果。如果你解出了结果的话，你会发现一个有意思的现象，得到的结果就是你提问中解答部分的结果！但他只用了那么简单的一个式子就得到了结果，我们却算了这么多复杂的东西，这是为什么？
其实，他这里相当于偷换了一下“弹簧”这个概念，他的解法相当于用了一根“想象”的弹簧去解，我争取下面用文字说明白。
首先，仔细考虑下弹簧的做功过程。当弹簧从x1向x2收缩时，如上所述，弹簧做功可以拆成两部分，一部分是抵消重力势能，另一部分是赋予物体动能。考虑弹簧在这个收缩过程中的一个微元过程，即弹簧收缩了一个小位移x，可以看到，在这个过程中，重力做功的距离是x，而弹簧做功的距离同样是x，也就是说，这个过程中弹簧拉力中有一个mg大小的力完全用于抵消重力功，换句话说，这个过程中，弹簧赋予物体动能的部分就是拉力中多于mg的那一点点在距离x上做功的结果。这个结论在x1与x2之间的任何微元过程内都是成立的，显然。
所以，自然可以这样想，既然每个微元内都有一个拉力的mg部分用于抵消重力影响，那我们为什么不直接把这部分的影响去掉？基于这个想法，我们可以想象一根虚拟的弹簧，其劲度系数仍然是k，但是，其自然长度就是在原先那根弹簧伸长至x2处，因为在x2处，原弹簧的拉力与重力相等。可以验证，这样定义的新弹簧是满足这个把重力抵消的想法的。比如，考虑新弹簧伸长x的状态，即相当于原弹簧伸长x+x2，对于原弹簧，此时拉力为k（x+x2），抵消重力后净剩的拉力就是kx，而此时新弹簧赋予物体的力恰好是kx。
接下来，考虑弹簧的势能。根据弹簧势能0.5kx^2的适用条件，其中的x必须是弹簧长度相对于自然长度的伸长量。对于我们的新弹簧，其自然长度恰好位于x2处，即题目中原弹簧的最终位置。换句话说，题目中物块的最终位置恰好是我们新弹簧的自然长度处。这样，对于我们的新弹簧，可以直接写出初态弹性势能，就是0.5k△x²，其中△x就是x1-x2。这样，弹性势能的式子就简化了。同时，由于我们构建新弹簧的过程中，已经把重力的影响抵消了，这部分势能就自然地全部转化为物体动能了。这就解释了解答中为什么能直接列出这个式子，且没有重力项了。
不知道说明白没有，如果有疑问，欢迎追问。
如果能理解这里建立的虚拟“新弹簧”，实际上就可以对物块的运动进行精确描述了。由于“新弹簧”的系统中，物块的重力是不存在的，所以只剩下了新弹簧的拉力，而这个力大小与物块距离新弹簧的自然长度处的距离成正比，方向永远指向自然长度处，符合回复力的定义，即物块将围绕新弹簧的自然长度处（即原弹簧的x2处）进行振幅为△x的严格的简谐运动。

追问

明白了，太感谢了

Answer 2

原解法可谓简单，但是的确不易理解