Question

在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D是CB延长线上一点,E是BC延长线上一点,

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是CB延长线上一点，E是BC延长线上一点，连接AD，过C作CF⊥AD于F，交AB于G，连接EG，∠ADB=∠GEC
求证：EC=BD

Answer 1

令AC、EG相交于H；延长EG至M，使GC＝GM。
∵AC⊥DC、CF⊥DA，∴∠GCH＝∠ADB，［同是∠BAC的余角］
又∠ADB＝∠GEC，∴∠GCH＝∠GEC，而∠CGH＝∠EGC，∴△CGH∽△EGC，
∴∠CHG＝∠ECG，∴∠AHG＝∠BCG。
－－－－－
∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBG，又∠AHG＝∠BCG，∴△AHG∽△BCG，
∴∠AGH＝∠BGC，∴∠BGM＝∠BGC，结合GM＝GC、GB＝GB，得：
△BGC≌△BNG，∴BC＝MB、∠ABC＝∠ABM。
－－－－－
∵AC＝BC、AC⊥BC，∴∠ABC＝45°，又∠ABC＝∠ABM，∴MB⊥EB。
由∠ADC＝∠MEB、∠ACD＝∠MBE＝90°、AC＝BC＝MB，得：△ADC≌△MEB，
∴AD＝ME。
由AD＝ME、∠ADE＝∠MED、DE＝ED，得：△ADE≌△MED，∴AE＝MD。
由AE＝MD、AC＝MB、∠ACE＝∠MBD＝90°，得：△ACE≌△MBD，∴EC＝BD。

Answer 2

好难啊。。。。