Question

lim(x->0) [(1+x)^(2/x)-e^2]/x

拜求大神为什么不可以先用极限将(1+x)^(2/x)算出来->e^2,lim(x->0)(e^2-e^2)/x=0?虽然这是错的，但我不知道我错在哪里？

Answer 1

当然做法有问题，
(1+x)^(2/x)的极限是e^2
说明两者的差是个无穷小量。
这个无穷小量是多少级的你并不知道。
因为你需要和另外一个无穷小量x去对比。
本题做法是利用u趋于0时 e^u-1与u等价化简，
x趋于0时 ln(1+x)与x等价

其中u=2ln(1+x)/x-2 当x趋于0时，lim u=2-2=0

再后面用了一次罗必塔法则。

Answer 2

x->0时,cosx=1-x2/2!+x^4/24+o(x^4),e^{-x2/2}=1-x2/2+(-x2/2)2/2!+o(x^4)=1-x2/2+x2/8+o(x^4) 所以cosx-e^{-x2/2}=-x^4/12+o(x^4)~-x^4/12 ln(1-x)=-x+x2/2+o(x2),所以x2[x+ln(1-x)]=x2[x2/2+o(x2)]~x^4/2 原式=lim{x->0}[-x^4/12]/[x^4/2]=-1/6

追问

你这回答的好像不是我的问题吧？