Question

高数 定积分问题

t的范围是0到2π 求面积 s和 全长l

Answer 1

(π/2)∫(0->π) [ xsinx /(1+(cosx)^2 ) ]dx
let
y = π-x
dy = -dx
x=0, y=π
x=π,y=0
∫(0->π) [ xsinx /(1+(cosx)^2 ) ]dx =∫(π->0) [ ∫(π->0) [ (π-y)siny /(1+(cosy)^2 ) ](-dy)
=∫(0->π) [ ∫(0->π) [ (π-x)sinx /(1+(cosx)^2 ) ]dx
2∫(0->π) [ xsinx /(1+(cosx)^2 ) ]dx =π∫(0->π) sinx/(1+(cosx)^2 ) ]dx
∫(0->π) [ xsinx /(1+(cosx)^2 ) ]dx = (π/2)∫(0->π) sinx/(1+(cosx)^2 ) ]dx
(π/2)∫(0->π) [ xsinx /(1+(cosx)^2 ) ]dx =(π/2)^2∫(0->π) sinx/(1+(cosx)^2 ) ]dx

Answer 2

0是函数f(x)的奇点，就是没有意义的点。当x趋于0时，f(x)函数值趋于无穷大。此时函数不满足可积的三个必要条件（1.连续函数一定可积；2.单调函数一定可积；3.有有限个第一类间断点的函数一定可积），所以第二个函数是不可积的，定积分不存在