高等数学第(2)题
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解：(2)小题，ρ=lim(n→∞)丨an+1/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1，∴收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1。∴级数的收敛区间为x∈(-1,1)。
而，x=±1时，级数∑[(-1)^n]n、∑n均发散。∴级数∑nx^(n-1)的收敛域为，x∈(-1,1)。
设S(x)=∑x^n，当丨x丨<1时，S(x)=∑x^n=x/(1-x)。∴原式=S'(x)=[x/(1-x)]'=1/(1-x)²。
∴∑[(-1)^n]n/2^n=1/(1-x)²丨(x=-1/2)=4/9。∑n/3^n=1/(1-x)²丨(x=1/3)=9/4。
供参考。
又，lim(n→∞)丨un+1/un丨=丨x丨/R<1，∴丨x丨<R=1。∴级数的收敛区间为x∈(-1,1)。
而，x=±1时，级数∑[(-1)^n]n、∑n均发散。∴级数∑nx^(n-1)的收敛域为，x∈(-1,1)。
设S(x)=∑x^n，当丨x丨<1时，S(x)=∑x^n=x/(1-x)。∴原式=S'(x)=[x/(1-x)]'=1/(1-x)²。
∴∑[(-1)^n]n/2^n=1/(1-x)²丨(x=-1/2)=4/9。∑n/3^n=1/(1-x)²丨(x=1/3)=9/4。
供参考。
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