Question

已知函数f(x)=xlnx-x+a的极小值为0. 若不等式f（x）<b（x-1）^2对任意x>1恒成立，求b的取值范围

Answer 1

• f'(x)=lnx+1-1

  驻点x=1 左-右+ 为极小值点

  f(1)=-1+a=0→a=1

• 令g(x)=b(x-1)²-xlnx+x-1  x≥1

  g(1)=0

  g'(x)=2b(x-1)-lnx-1+1=2b(x-1)-lnx

  g'(1)=0

  g''(x)=2b-1/x

  b≤0时 g''(x)<0→g'(x)单调递减→g'(x)≤g(1)=0→g(x)单调递减→g(x)≤g(1)=0 x>时不等式恒不成立

  b>0时，g''(x)=0→x=1/2b 为极小值点

  当g'(1/2b)=1-1/2b+ln(2b)≥0→b≥½时 g'(x)≥0→g(x)单调递增 x>1时，g(x)>g(1)=0, 不等式恒成立

  b的取值范围:b∈[½,+∞)

Answer 2

f'(x)=lnx+1-1=lnx，极值点x=1
极小值f(1)=0得a=1

追答

g(x)=f(x)-b(x-1)²1时恒成立，则g(x)在x>1时单调递减，g'(x)≤0，lnx-2b(x-1)≤0，
b≥lnx/2(x-1)，故b≥1/2