Question

求一个定积分

Answer 1

解：分享一种解法。∵dx/[x(1+x²)]=[1/x-1/(1+x²)]dx=d[lnx-(1/2)ln(1+x²)]，
∴原式=(-1/2)(ln2)²-∫(0,1)lnxdx/(1+x)+(1/2)∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)①【∵lim(x→0)(lnx)ln(1+x)=0,下同】。
对∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)，设I(θ)=∫(0,1)ln(1+θx²)dx/(1+x)。显然，I(0)=0、I(1)=∫(0,1)ln(1+x²)dx/(1+x)。由I(θ)对θ求导，I'(θ)=∫(0,1)x²dx/[(1+θx²)(1+x)]。
∴I'(θ)=[1/(1+θ)]∫(0,1)/[1/(1+x)+(x-1)/(1+θx²)]dx=[1/(1+θ)][ln2-ln(1+θ)/(2θ)-(1/√θ)arctan(√θ)]。∴I(1)=∫(0,1)I'(θ)dθ=∫(0,1)[ln2+ln(1+θ)/(2θ)-(1/√θ)arctan(√θ)]dθ/(1+θ)=(3/4)(ln2)²-(1/2)∫(0,1)lnθdθ/(1+θ)-π²/16②。将②代入①，
∴原式=-(5/4)∫(0,1)lnxdx/(1+x)-(1/8)(ln2)²-π²/32。对∫(0,1)lnxdx/(1+x)，∵0<x<1时，1/(1+x)=∑(-1)^n]x^n；利用∑1/(1+n)²=π²/6【n=0,1，……，∞】，可得∫(0,1)lnxdx/(1+x)=∑(-1)^n](x^n)lnxdx=-∑(-1)^n]/(1+n)²=-π²/12，
∴原式=(5/48)π²-(1/8)(ln2)²-π²/32=(7/96)π²-(1/8)(ln2)²。
供参考。