Question

求这道题的解法，谢谢

求这道题的解法，谢谢谢谢

Answer 1

求 xy'+y=x²+3x+2的通解
解(一)：先求齐次方程 xy'+y=0的通解：
分离变量得：dy/y=-dx/x；积分之得 lny=-lnx+lnc₁=ln(c₁/x)
故齐次方程的通解为：y=c₁/x；将c₁换成x的函数u，得y=u/x..........①
对①取导数得：y'=(xu'-u)/x²..........②
将①和②代入原式得：(xu'-u)/x+(u/x)=u'=x²+3x+2;
故u=∫(x²+3x+2)dx=(1/3)x³+(3/2)x²+2x+c;
代入①式即得原方程的通解为：y=(1/3)x²+(3/2)x+2+(c/x);
解(二): 由 x(dy/dx)+y=x²+3x+2 得 xdy+ydx=(x²+3x+2)dx
即有 d(xy)=(x²+3x+2)dx；积分之得：xy=(1/3)x³+(3/2)x²+2x+c
即通解为：y=(1/3)x²+(3/2)x+2+(c/x).

Answer 2

两边乘以 dx 后，直接积分，得
xy = 1/3*x^3 + 3/2*x^2 + 2x + C。