Question

∫√1-x/1+xdx/x

Answer 1

-2t-ln绝对值(t-1)+ln绝对值(t+1)+C

解题过程如下：

换元,令t=√(1+x)/x=√(1+1/x),则t²=1+1/x,故x=1/(t²-1)

故∫1/x√(1+x)/xdx

=∫(t²-1)td(1/(t²-1))

=-∫(t²-1)t*2t/(t²-1)²dt

=-2∫t²/(t²-1)dt

=-2∫(1+1/(t²-1))dt

=-2∫(1+1/(t+1)(t-1))dt

而裂项公式1/(t+1)(t-1)=(1/(t-1)-1/(t+1))/2

所以

-2∫(1+1/(t+1)(t-1))dt

=-2∫dt-∫1/(t-1)dt+∫1/(t+1)dt

=-2t-ln绝对值(t-1)+ln绝对值(t+1)+C

(C为常数)

扩展资料

分部积分：

(uv)'=u'v+uv'

得：u'v=(uv)'-uv'

两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx

即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式

也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv

常用积分公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

如图所示，如有疑问请追问。

Answer 4

[x(1-x+x^2)]-(1/[x(1+x)] =(1/[(x-1/∫√[(1-x)/.;3)∫dx/6)∫dx^2/3)∫dx/3)∫xdx/6)∫dx/.=(2/|x| ]+C ∫dx/3)∫(1+x)dx/3)∫dx/[(1-sinu)(1+sinu)] =tanu-ln[|1+sinu|/.;2)^2+3/3)ln|x|+;[x^2(1-x+x^2)]+(1/(1+x)] dx/.;4]-(1/(1+x)]=(1-cosu)/3)∫xdx/3)∫(x-1)dx/.;(1-sinu)(1+sinu) =tanu-∫dsinu/.;(x^2(1-x+x^2)+;2)^2+3/. =(1/[(x-1)x^2]+;sinu 原式=∫(1-cosu)du/.;6)∫dx^2/[(x-1/(x-1)+(1/√3)-(1/[(x-1)(1-x+x^2]+(1/6)ln|x^2-x+1|+(1/6)∫dx^2/. =(1/[(1+x)(1-x+x^2)]=(1/x^2)-1 ] -ln[|1+√(1-x^2)|/(cosu)^2 =∫du/..;[(x-1)(x^2-x+1)]+(1/|x|] =(1/x+;3√3)arctan(2x/4]-(1/(x-1)-(1/3)∫dx/(cosu)^2-∫cosudu/[x(x-1)]+;(x^2-x+1)-(1/. =(1/.;|x| =(1/3)∫dx/3)ln|1+x|/|cosu|] +C =√[(1/√3-1/.. ;(1+x^3) =∫dx/6)ln|x^2-x+1|-(1/3)∫dx/x^2 x=cosu dx=sinu √[(1-x)/.;√3-1/.;3)ln[|1+x|/√3)-(1/. =(1/3√3)arctan(2x/

Answer 5

通过换元法计算积分。