Question

定义、公理、定理、推论、命题和引理的区别是什么？

Answer 1

首先、定义和公理是任何理论的基础，定义解决了概念的范畴，公理使得理论能够被人的理性所接受。
其次、定理和命题就是在定义和公理的基础上通过理性的加工使得理论的再延伸，我认为它们的区别主要在于，定理的理论高度比命题高些，定理主要是描述各定义（范畴）间的逻辑关系，命题一般描述的是某种对应关系（非范畴性的）。而推论就是某一定理的附属品，是该定理的简单应用。
最后、引理就是在证明某一定理时所必须用到的其它定理。而在一般情况下，就像前面所提到的定理的证明是依赖于定义和公理的。
定义就是规定意义，相当于取名字，定理就是根据定义和公理推导演绎出来的命题。
公理就是人们通过实际生活观察到的一些人们共同赞同的但又无法证明的；
根本差别在于:定义不可证明,而定理一定是经过了证明的!
数学就是在定义和公理(经验的总结,不需证明,如过两点可画一条直线)基础上,演绎出的一整套定理组成的逻辑体系.(演绎的过程就是证明定理)
定义:对概念的内涵或语词的意义所做的简要而准确的描述
定理:通过理论证明能用来作为原则或规律的命题或公式

Answer 2

公理是不需要证明的,由实践得出的结论.

定理是由公理得出来的,也可以说是公理的推论,是需要证明的.

推论的定义是,根据公理或定理而推导出来的真命题.

定义就是数学名词的概念,例如,直角的定义就是"90度的角"定理是真命题,但真命题不一定是定理、公理

真命题是逻辑上的概念,而定理是在研究中觉得比较重要和常用的结果,授予它定理得地位而已.而公里这是逻辑讨论的前提 。

公理是显而易见，无需证明。定理是需要证明的，一般需要用到公理。推论是定理推出的相关结论，是定理的演化。

定义是对某件事物（比如内错角）的语言说明。公理是一些假设大家都承认的事实，比如欧几里得的平行公理，在欧氏几何中我们假设这个公理是正确的。

但在黎曼几何中不对，有另外的公理。推论指的是从定义、定理中直接能够看出的特殊结论，比如由平行公理很快能得出平行线的传递性这个推论。命题指的是能否判断真假的陈述句，错误的命题是假命题，正确的命题是真命题。

Answer 3

定义（Definition）
定义是透过列出一个事件或者一个物件的基本属性来描述或规范一个词或一个概念的意义；被定义的事务或者物件叫做
被定义项，其定义叫做
定义项。
对于一种事物的本质特征或一个概念的内涵和外延所作的简要说明。相当于数学上的对未知数的设定赋值，比如“设某未知数为已知字母x以便于简化计算，”对某个命名的词汇赋与一定的意义或形象，则有利于交流中的识别及认同。
命名和定义总是相伴而生，用已知的熟知的来解释和形容未知的陌生的事物并加以区别，这是一个理论界的真理。
命名和定义是理论的前提。命名和定义是展开理论的前提。
定理（Theorem）
是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。证明定理是数学的中心活动。一个定理陈述一个给定类的所有（全称）元素一种不变的关系，这些元素可以是无穷多，它们在任何时刻都无区别地成立，而没有一个例外。
猜想是相信为真但未被证明的数学叙述，或者叫做命题，当它经过证明后便是定理。
猜想是定理的来源，但并非唯一来源。一个从其他定理引伸出来的数学叙述可以不经过成为猜想的过程，成为定理
引理（Lemma）
引理是数学中为了取得某个更好的结论而作为步骤被证明的命题，其意义并不在于自身被证明，而在于为达成最终目的作出贡献。
一个引理可用于证明多个结论。引理和定理没有严格的区分。
推论（也称为
系,
系理）（Inference）
推论是指能够
“简单明了地”
从前述命题推出的论断。
推论往往在定理后出现;
如果命题
B
能够被简单明了的从命题
A
推导出，则称
B
为
A
的推论。
“推论”,
“定理”,
“命题”
等术语的使用区别往往是比较主观的。
因为
“简单明了”
这个定义本来同作者及上下文相关。
当然，推论一般被认为不如定理重要。
定律（Law）
为研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论，不同于理论、假设、定义、定理，是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。
科学定律是一种理论模型，它用以描述特定情况、特定尺度下的现实世界，在其它尺度下可能会失效或者不准确。
没有任何一种理论可以描述宇宙当中的所有情况，也没有任何一种理论可能完全正确