Question

怎么用拉格朗日中值定理证明当x>1时，e∧x＞ex？

Answer 1

g(x)=e^x-ex，存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)，即e^x-ex>0;e^x>ex成立。

一、令f(x)=e^x-x-1 f(x)满足拉格朗日中值定理。
f(0)=0。
f(x)-f(0)=f'(ξ)x。
f'(x)=e^x-1 当x>=0时,f'(x)>=0。
f(x)-f(0)>=0 问题得证。
当x<0时,f'(x)<0  f'(ξ)x>0。
f(x)-f(0)>=0 问题得证。

二、可用导数证明如下：
y'=e^x-e。
令y'=0,则有e^x=e,即x=1。
当x>1的时候，e^x>e,此时y为单调增函数。
当x<1的时候，e^x<e,此时y为单调减函数。
y>y(1)=0。
e^x-ex>0。
e^x>ex,得证。

三、令f(x)=e^x-ex，其中x≠1。
f'(x)=e^x-e。
当x>1时，f'(x)>0，f(x)严格单调递增。
当x<1时，f'(x)<0，f(x)严格单调递减。
所以f(x)>lim(x->1)f(x)=0。
即e^x>ex。

Answer 2

g(x)=e^x-ex
g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导
所以由拉格朗日中值定理
存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)
e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)
即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)
此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0
即e^x-ex>0;e^x>ex成立