Question

高等数学。

高等数学。高数，求大神助攻

Answer 1

望采纳

Answer 2

假如{an}收敛，则令a=lim(n->∞)an
a+√(1-a)=0
a^2+a-1=0
a=-(1+√5)/2
接下来用数学归纳法证明，-(1+√5)/2<an<=1
当n=1时，a1=1成立
假设当n=k时，-(1+√5)/2<ak<=1
当n=k+1时，a(k+1)=-√(1-ak)∈(-(1+√5)/2,0]⊆(-(1+√5)/2,1]
所以-(1+√5)/2<an<=1，即{an}有界
因为√(1-an)=-a(n+1)
1-an=a(n+1)^2
an=1-a(n+1)^2
所以a(n+1)-an=a(n+1)^2+a(n+1)-1
=[a(n+1)+(1+√5)/2][a(n+1)+(1-√5)/2]
因为-(1+√5)/2<a(n+1)<=0<-(1-√5)/2
所以a(n+1)-an<0，即{an}单调递减
综上所述，{an}单调有界，所以必收敛，lim(n->∞)an=-(1+√5)/2