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高等数学极限

高等数学极限这题怎么做，尽量详细

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Answer 2

a, b, c>0
lim(n->∞) ( [ a^(1/n)+b^(1/n) +c^(1/n)] /3 )^n
let
m= max { a, b, c}
consider
L =lim(x->∞) ( [ a^(1/x)+b^(1/x) +c^(1/x)] /3 )^x
lnL
=lim(x->∞) x. ln( [ a^(1/x)+b^(1/x) +c^(1/x)] /3 )
=lim(x->∞) ln( [ a^(1/x)+b^(1/x) +c^(1/x)] /3 ) /(1/x) ;(0/0) 分子，分母分别求导
=lim(x->∞) -(1/x^2) [(lna).a^(1/x) +(lnb).b^(1/x)+ (lnc).c^(1/x) ]
/{ (-1/x^2). [ a^(1/x)+b^(1/x) +c^(1/x)] }
=lim(x->∞) [(lna).a^(1/x) +(lnb).b^(1/x)+ (lnc).c^(1/x) ] /[ a^(1/x)+b^(1/x) +c^(1/x)]
分子，分母同时除以 m^(1/x)
=lim(x->∞) [(lna).(a/m)^(1/x) +(lnb).(b/m)^(1/x)+ (lnc).(c/m)^(1/x) ]
/[ (a/m)^(1/x)+(b/m)^(1/x) +(c/m)^(1/x)]
=lnm
L = m
=>
lim(n->∞) ( [ a^(1/n)+b^(1/n) +c^(1/n)] /3 )^n =max { a, b, c}