Question

高中数学几何题

高中数学几何题请问第二小题的体积之比是多少啊，（只用回答第二小题）

Answer 1

已知：在六边形ABCDEF中，AB//CD，∠BCA=90D，AD=BC，BEFA为矩形，平面BEFA⊥平面ABCD；（1）求证：平面AFC⊥平面BCE；（2）若AB=2CD=4AF=3.求多面体ACDF与多面体ABCEF的体积之比。
（1）证明：∵ 平面BEFA⊥平面ABCD，且AB是平面BEFA和平面ABCD的交线，四边形ABCD 是矩形；∴AF⊥AB，BE⊥AB，则BE⊥AC（在两个垂直平面中，如果平面中的直线垂直于两平面的交线，这条直线垂直于另一平面的所有直线）；∵∠BCA=90D，∴BC⊥AC，AC⊥平面BCE；那么由AC组成的平面AFC⊥平面BCE。结论得证。
（2）设CD与AB间的距离为h，五面体ABCEF的体积V1=（1/3）*3*4h=4h，四面体ACDF的体积V2=（1/3）*2*h*3/2=h；多面体ACDF与多面体ABCEF的体积之比为：
V2/V1=h/(4h)=1/4

Answer 2

（1）只要找到一个平面内的一条直线，垂直于另一个平面，两个平面就平行。AC有垂直线相关可能是。
AC⊥BC（已知∠BCA=90°），
AC⊥BE：
∵平面BEFA⊥平面ABCD（已知），BEFA是矩形（已知），BE⊥AB（矩形角为直角），
∴BE⊥平面ABCD（）两个互相垂直的平面，在其中一个平面内，垂直于两平面交线的直线，也垂直于另一个平面），
∴BE⊥AC（直线⊥一个平面，就⊥该平面内的任何直线）；
∴AC⊥平面BCE（直线垂直于平面内的两条相交直线，则垂直于这个平面）；
∴平面AFC⊥平面BCE（通过平面的一条垂线的平面，垂直于该平面）

追答

(2)设角BAC=角SCD（内错）=角CAD（等腰）=α，
多面体ACDF，可以看作底ACD高AF的三棱锥，底面积=AD×CDsinADC/2
=2sin（180-2α）=2sin2 α
ACDF体积=2sin2α×3/3= 2sin2α

过C作CG垂直于AB，ABCEF是BEFA为底，CG为高的棱锥。
V=4×3×ABcosαsinα÷3
=16sinαcosα
=8sin2α

体积比=4