Question

已知函数f(x)=x-alnx的极小值小于a (1)求实数a的取值范围

Answer 1

• f(x)=x-alnx 定义域x>0

  f'(x)=1-a/x

  存在极小值，a>0 (a≤0时，f'(x)>0,函数为增函数，不存在极值）

  极小值点f'(x)=0→x=a

  极小值=a-alna<a

  令g(a)=a-alna-a=-alna

  g'(a)=-lna-1

  驻点a=1/e 为极大值点 a∈(0,1/e) g(a)单调递增 a∈(1/e,+∞)单调递减

  a∈(0,1/e)时 lna<0→g(a)=a-alna>0

  a∈(1/e,+∞),g(a)单调递减 

  g(1)=0→a∈(1,+∞)时 g(a)<g(1)=0

  ∴a∈(1,+∞)

  

  (蓝色 a>1 红色a=1 黑色0<a<1)

Answer 2

显然 x>0，
f'(x) = 1-a/x = (x-a)/x，当 a ≤ 0 时，f'(x) 恒为正，函数无最小值；
当 a>0 时，令 f'(x) = 0 得 x = a，易知函数极小值为 f(a) = a-alna < a，
解得 a > 1 。

Answer 3

。

追答