Question

I=∫∫(x^2+y^2)dxdy,其中D是由x^2+y^2=4x围成的闭区域

想看看过程

Answer 1

解：分享一种解法，转化成极坐标求解。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ。 ∴D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤2cosθ，0≤θ≤2π}。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,2cosθ)ρ³dρ=4∫(0,2π)(cosθ)^4dθ=∫(0,2π)(1+cos2θ)²dθ=∫(0,2π)(3/2+2cos2θ+cos4θ/2)dθ=3π。
供参考。

追问

我这儿的答案是32π

追答

不好意思。应该是，设x=ρcosθ，y=ρsinθ。 ∴D={(ρ,θ)丨0≤ρ≤4cosθ，-π/2≤θ≤π/2}。
∴原式=∫(-π/2,π/2)dθ∫(0,4cosθ)ρ³dρ=64∫(-π/2,π/2)(cosθ)^4dθ=16∫(0,π/2)(1+cos2θ)²dθ=16∫(0,π/2)(3/2+2cos2θ+cos4θ/2)dθ=24π。
供参考。