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一阶线性微分方程求解答!
如图画红线的两个步骤我看不懂,2xy是怎么对应下面的呢,特别是下面画红线的“-2x”,是怎么带入计算的呢,求解答,真的急。。。...
如图画红线的两个步骤我看不懂,2xy是怎么对应下面的呢,特别是下面画红线的“-2x”,是怎么带入计算的呢,求解答,真的急。。。
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求微分方程 y'+2xy=2xe^(-x²)的通解
解:这里用的【积分常数变异法】求解;
先求齐次方程 y'+2xy=0 的通解:
分离变量得:dy/y=-2xdx;积分之得:lny=-x²+lnc;∴y=c₁e^(-x²)...........①
将①中的积分常数c₁换成x的函数u,得y=ue^(-x²)..............②
将②对x取导数得:y'=u'e^(-x²)-2xue^(-x²).............③
将②③代入原式得:u'e^(-x)-2xue^(-x)+2x[ue^(-x²)]=2xe^(-x²)
化简即得:u'e^(-x)=2xe^(-x²); 再消去e^(-x²),即得 u'=2x,积分之得u=x²+c;
将u代入②式即得原方程的通解:y=(x²+c)e^(-x²);
这个过程很流畅,也很容易。
解:这里用的【积分常数变异法】求解;
先求齐次方程 y'+2xy=0 的通解:
分离变量得:dy/y=-2xdx;积分之得:lny=-x²+lnc;∴y=c₁e^(-x²)...........①
将①中的积分常数c₁换成x的函数u,得y=ue^(-x²)..............②
将②对x取导数得:y'=u'e^(-x²)-2xue^(-x²).............③
将②③代入原式得:u'e^(-x)-2xue^(-x)+2x[ue^(-x²)]=2xe^(-x²)
化简即得:u'e^(-x)=2xe^(-x²); 再消去e^(-x²),即得 u'=2x,积分之得u=x²+c;
将u代入②式即得原方程的通解:y=(x²+c)e^(-x²);
这个过程很流畅,也很容易。
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