Question

判断无穷级数收敛性

1. ∑ 1/(n^(1+1/n))
2. ∑ 1/(lnx^(lnx))
请说明为什么,谢谢

Answer 1

1首先证明lim[x^(1/x)]=1,x->正无穷
lim(lnx/x)=lim(1/x)(罗必达法则)=0
lim[x^(1/x)]=lim[exp(lnx/x)]=exp0=1
lim[1/(n^(1+1/n))]/(1/n)=lim[1/n^(1/n)]=1
根据比较判别法，∑1/(n^(1+1/n))跟∑1/n敛散性相同，同发散

2如果你的意思是通项为n的lnn次方再取对数的话这样做
通项化成1/(lnn)^2,首先证明n充分大时(lnn)^2<n
lim(lnx)^2/x=lim(2lnx/x)=lim(2/x)=0 x->正无穷
即对任意0<e<1,存在N，当n>N时
(lnn)^2/n=∣(lnn)^2/n-0∣<e<1,(lnn)^2<n
l/(lnn)^2>1/n,而n>N时∑1/n发散，∑1/(lnn)^2也发散
即原级数的一个子级数发散，所以它也是发散的

Answer 2

利用比值判定法。
1. ∑ 1/(n^(1+1/n))
利用当a>1,级数1. ∑ 1/(n^a)收敛。
而 1+1/n>1,可以判定1. ∑ 1/(n^(1+1/n)) 是收敛的。
2. ∑ 1/(lnx^(lnx))
An+1/An=[ln(n+1)/ln(n)]^2
ln(n+1)/ln(n)>1
此级数是收敛的。

Answer 3

1.显然对于n>=2有n^(1/n)<2，即1/(n^(1+1/n))>1/(2n)
而∑ 1/(2n)发散，所以∑ 1/(n^(1+1/n))发散

2.没看懂，x是啥？lnx^(lnx)又是啥？

Answer 4

1楼的解法是错的
我感觉应该发散，用拉贝判别法试试吧

Answer 5

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