Question

如何用平面向量的方法证明三角形角平分线定理？

在三角形ABC中，AD是角A的平分线，交BC于点D，请用向量法求证AB:AC=BD:DC。

需要详细的过程，谢谢。

Answer 1

三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，
如△abc中，ad平分∠bac，则bd/dc=ab/ac
证明:
任意三角形abc，d为角bac的角平分线
由正弦定理可知
bd/sin1=ad/sinb
dc/sin2＝ad/sinc
由上式可以得
bd/dc＝sinc/sinb
又因为ab/sinc=ac/sinb
所以sinc/sinb＝ab/ac
所以bd/dc＝ab/ac

Answer 2

三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，
如△abc中，ad平分∠bac，则bd/dc=ab/ac
证明:
任意三角形abc，d为角bac的角平分线
由正弦定理可知
bd/sin1=ad/sinb
dc/sin2＝ad/sinc
由上式可以得
bd/dc＝sinc/sinb
又因为ab/sinc=ac/sinb
所以sinc/sinb＝ab/ac
所以bd/dc＝ab/ac

Answer 3

证明：根据题意画出示意图，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．

∵BE∥AC，

∴BDDC=BEAC．

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠DAC．

∵BE∥AC，

∴∠DEB=∠DAC．

∵∠BAD=∠DAC，∠DEB=∠DAC，

∴∠DEB=∠BAD．

∴AB=BE．

∵AB=BE，BDDC=BEAC，

∴AB:AC=BD:DC．

Answer 4

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Answer 5

在三角形ABC中，AD是A的平分线，交BC于点D，请用向量法求证AB:AC=BD:DC。

需要详细的过程，谢谢。