求定积分的题，如图所示。求解图2两边对x求导的详细过程，谢谢
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∫(0->x) tf(2x-t)dt = (1/2)ln(1+x^2)
f(1)=1
To find : ∫(1->2) f(x) dx
solution:
let
u=2x-t
du = -dt
t=0, u=2x
t=x, u=x
∫(0->x) tf(2x-t)dt
=∫(2x->x) (2x-u) f(u) (-du)
=∫(x->2x) (2x-u) f(u) du
=2x.∫(x->2x) f(u) du -∫(x->2x) uf(u) du
d/dx ∫(0->x) tf(2x-t)dt
=d/dx [2x.∫(x->2x) f(u) du -∫(x->2x) uf(u) du ]
=2{ x[2f(2x)-f(x) ] + ∫(x->2x) f(u) du } - [ 2(2x)f(2x) - xf(x) ]
=2 ∫(x->2x) f(u) du
f(1)=1
To find : ∫(1->2) f(x) dx
solution:
let
u=2x-t
du = -dt
t=0, u=2x
t=x, u=x
∫(0->x) tf(2x-t)dt
=∫(2x->x) (2x-u) f(u) (-du)
=∫(x->2x) (2x-u) f(u) du
=2x.∫(x->2x) f(u) du -∫(x->2x) uf(u) du
d/dx ∫(0->x) tf(2x-t)dt
=d/dx [2x.∫(x->2x) f(u) du -∫(x->2x) uf(u) du ]
=2{ x[2f(2x)-f(x) ] + ∫(x->2x) f(u) du } - [ 2(2x)f(2x) - xf(x) ]
=2 ∫(x->2x) f(u) du
追问
大佬，您可以写在纸上吗？
您这样写有些地方和一些符号我不是很理解 😭😭
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希望写的很清楚
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