Question

二重积分的极坐标表示

如图，θ＝π/4的那条线里面，ρ和θ什么关系啊？怎么求ρ的范围啊?

Answer 1

回答稍微有点长，但是仔细读肯定会帮助你理解。你说的不对，不是secx是secΘ。
转化成极坐标的时候，你得从坐标原点画一条指向x轴正方向的直线，然后在积分区域内逆时针旋转至x负方向，直线箭尾经过的是r的下限，箭头经过的是r的上限。角度Θ的取值范围根据旋转的角度决定，最大的范围是[0,pi]（从x轴正向转到x轴负方向）
在这个题目里，积分区域很好画，是一个第一象限内的一个三角形，指向x轴正方向的直线从和x轴重合开始，一直转到y=x这条直线，所以角度就是从0转到1/4pi，这个应该很好理解。而对于r的取值，箭尾始终是在原点，所以r=0，而在旋转过程中，箭头在触及的积分区域的端点界限始终是x=1这条线，所以根据极坐标公式是x=rcosΘ，也就是rcosΘ=1，所以r=1/cosΘ=secΘ。
那么有个思考题可以帮助你理解，还是这个题，积分区域变成了x=±1和y=x围成的两个中心对称的三角区域应该怎么写积分呢？做法还是一样的，旋转角度没有变，所以Θ的取值还是0到1/4pi，但是由于这时候箭尾不再是在原点了，而是始终在x=-1这条线上，箭头还是原来的x=1，所以这时候r就变成了从-secΘ到secΘ了。
不明白追问吧。