Question

求｜a-1｜+｜a+2｜+｜a-3｜+｜a+4｜+｜a-5｜+...+｜a+2n｜+｜a-(2n+1)｜最小值

求｜a-1｜+｜a+2｜+｜a-3｜+｜a+4｜+｜a-5｜+...+｜a+2n｜+｜a-(2n+1)｜最小值

Answer 1

该题可将绝对值符号理解为数轴上a到点1，-2，3，-4……-2n，2n+1的距离之和
这里可以将这些点分以下n个组
1和-2一组，当-2≤a≤1时，｜a-1｜+｜a+2｜取最小值3，即1-（-2）=3
3和-4一组，当-4≤a≤3时，｜a-3｜+｜a+4｜取最小值7，即3-（-4）=7
……
2n-1和-2n一组，当-2n≤a≤2n-1时，｜a-（2n-1）｜+｜a+2n｜取最小值7，即2n-1-（-2n）=4n-1
将不等式-2≤a≤1，-4≤a≤3，…，-2n≤a≤2n-1联立解得-2≤a≤1

即当-2≤a≤1时，上述分组的取值为最小值
最后，2n+1单独讨论
当a=1时，｜a-(2n+1)｜取得最小值2n
因此，原式最小值为2n+3+7+…+4n-1
这里除了第一项2n以外，剩下的是等差数列，首项为3，公差为4，项数为n，所以等差数列的前n项和为（3+4n-1）*n/2=2n^2+n
最后再加上第一项2n
原式的最小值即为2n^2+3n