Question

问一道线性代数题，求解题步骤，该怎么做呢，谢谢

Answer 1

先证明Pn=V1+V2
对任意的x属于Pn，则
X=(X-AX)+AX
因为A(X-AX)=AX-A^2X=(A-A^2)X=0
所以X-AX属于V1
又A(AX)=A^2X=AX
所以AX-A^2X=0
(E-A)AX=0
所以AX属于V2
故Pn=V1+V2
又对任意的a属于V1和V2的交，则
Aa=0且(E-A)a=0
所以Ea=0
故a=0
可见交空间为零空间。
故Pn为V1与V2的直和。