Question

该题第二题的第二小题怎么做？

请让初中知识解答，谢谢。

Answer 1

连接EF通过SAS证明三角形ABE全等于三角形AFE.由此可得AF等于AB等于8。

追问

怎么证？

Answer 2

在此简要解析一下第（2）①题：

如图一所示，当AE=BE时，△ABE为等腰直角三角形，此时AF∥CD，

则点F不在直线CD上，不符合题意，所以△ABE不会是AE=BE的等腰三角形；

如图二所示，当AB=BE时，因为∠B=45°，所以∠BEA=∠BAE=∠DAE=67.5°，

即此时点F与点D重合，易算得CF=CD=8；

如图三所示，当AB=AE时，因为∠B=∠AEB=45°，所以∠BAE=∠FAE=90°，

即点F为BA与CD延长线上的交点，易算得CF=8+4√2，

综上所述，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为8或8+4√2。

解析此题是因为这类“使得一个三角形为等腰三角形”的题一般存在多个解，需要注意。

（2）②、如图四所示，延长CB至点G，使得BG=DF，

过点A作AH⊥BC，过点G作GI⊥AE。

因为AD∥BC，AD<BC，AB=AD=DC=8，∠B=45°，

所以四边形ABCD为等腰梯形，有∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠ABG=135°，

再由BG=DF可知△ADF≌△ABG（SAS），有AF=AG，∠DAF=∠BAG，

又因为AE平分∠BAF，有∠EAF=∠BAE，

所以∠GAE=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠EAF=∠DAE=∠AEB，

可知△AGE为等腰三角形，有AF=AG=GE，AI=IE，

因为在直角△AHE和直角△GIE中∠AEH=∠GEI，所以△AHE∽△GIE，有HE/IE=AE/GE，

因为在等腰直角△ABH中AB=8，所以AH=BH=4√2，

由BE=5√2得HE=√2，在直角△AHE中由勾股定理算得AE=√34，则AI=IE=(√34)/2，

所以(√2)/[(√34)/2]=(√34)/GE，算得GE=(17√2)/2，所以AF=AG=GE=(17√2)/2。