数学复数的题目

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我们把形如z=a+bi(a,b均为实数)的数称为复数,其中a称为实部,b称为虚部,i称为虚数单位。当z的虚部等于零时,常称z为实数;当z的虚部不等于零时,实部等于零时,常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包,即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入,经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作,此概念逐渐为数学家所接受。

数集拓展到实数范围内,仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方),为了使方程有解,我们将数集再次扩充。

在实数域上定义二元有序对z=(a,b),并规定有序对之间有运算"+"、"×" (记z1=(a,b),z2=(c,d)):

z1 + z2=(a+c,b+d)

z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)

容易验证,这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域,并且对任何复数z,我们有

z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)

令f是从实数域到复数域的映射,f(a)=(a,0),则这个映射保持了实数域上的加法和乘法,因此实数域可以嵌入复数域中,可以视为复数域的子域。

记(0,1)=i,则根据我们定义的运算,(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi,i × i=(0,1) × (0,1)=(-1,0)=-1,这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。

形如

的数称为复数(complex number),其中规定i为虚数单位,且

(a,b是任意实数)

我们将复数

中的实数a称为复数z的实部(real part)记作Rez=a

实数b称为复数z的虚部(imaginary part)记作 Imz=b.

当a=0且b≠0时,z=bi,我们就将其称为纯虚数。

复数的集合用C表示,实数的集合用R表示,显然,R是C的真子集。

复数集是无序集,不能建立大小顺序。

复数的模

将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模,记作∣z∣.

即对于复数

,它的模

对于复数

,称复数

=a-bi为z的共轭复数。即两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。复数z的共轭复数记作

。根据定义,若

(a,b∈R),则

=a-bi(a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数。在复平面上,表示两个共轭复数的点关于X轴对称,而这一点正是"共轭"一词的来源----托盘天平上的两个托盘,要共架一个水平的横梁,这横梁就叫做"轭"。如果用z表示x+yi,那么在z字上面加个"一"就表示x-yi,或相反。

共轭复数有些有趣的性质:

在复变函数中,自变量z可以写成

,r是z的模,即r = |z|;θ是z的辐角,记作: Arg(z)。在-π到π间的辐角称为辐角主值,记作: arg(z)(小写的A)。

任意一个不为零的复数

的辐角有无限多个值,且这些值相差2π的整数倍。把适合于-π≤θ<π的辐角θ的值,叫做辐角的主值,记作argz。辐角的主值是唯一的。而零在复数中,是唯一辐角没有定义的复数。

指数形式:

加法法则

复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

乘法法则

复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i2= -1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

除法法则

复数除法定义:满足

的复数

叫复数a+bi除以复数c+di的商。

运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算,

开方法则

若zn=r(cosθ+isinθ),则

(k=0,1,2,3…n-1)

运算律

加法交换律:z1+z2=z2+z1

乘法交换律:z1×z2=z2×z1

加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

乘法结合律:(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)

分配律:z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3

i的乘方法则

i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(其中n∈Z)

任何不为零的复数,零次幂都是一。

希望我能帮助你解疑释惑。

分守甫Q
2019-09-24 · TA获得超过1.4万个赞
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这些题目就写个例子,其他是可以类推的,需要知道复数的运算规律,希望对你有帮助

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追问
你好大哥哥
第五题怎么做
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橙那个青
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2019-09-24 · 关注我不会让你失望
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第三题计算题目

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西域牛仔王4672747
2019-09-23 · 知道合伙人教育行家
西域牛仔王4672747
知道合伙人教育行家
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毕业于河南师范大学计算数学专业,学士学位, 初、高中任教26年,发表论文8篇。

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大哥哥 前面四题也帮我解答下啦
我要看下做题过程
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2019-09-22 · TA获得超过8860个赞
知道大有可为答主
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是不是才学习复数?都是基础题,懂得复数定义就可以做出来的。
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才刚学习
帮下忙嘛姐姐
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