Question

高中数学立体几何

立体几何证明，手写字算已知条件

Answer 1

法向量法，如图所示：

追答

最后应该是2/√7

Answer 2

1. ∵AD=AB=1,AD⊥CD,AB∥DC
   

   ∴△ABD是等腰直角三角形

   ∴∠ABD=∠ADB=45°，BD=√2

   ∴∠BDC=45°

   ∵BC=√2

   ∴△CBD是等腰直角三角形

   ∴DB⊥BC

   ∵PD⊥底面ABCD

   ∴PD⊥BC

   ∴BC⊥平面PDB

   ∴平面PBD⊥平面PBC

2. DA,DC,DP两两垂直，以点D为原点，分别以DA,DC,DP为x,y,z轴正方向

   建立空间坐标系

   ∴D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,1,0)

   ∵2CH=3HD

   ∴H(0,4/5,0)

   ∵CB⊥平面PBD

   ∴∠BPC就是PC与平面PBD所成角

   即tan∠BPC=√6/3

   ∵BC=√2

   ∴PB=√3,PD=1

   ∴P(0,0,1)

   向量PB=(1,1,-1),向量BC=(-1,1,0),向量PH=(0,4/5,-1)

   平面PBC法向量n1=(1,1,2),平面PBH法向量n2=(-1,5,4)

   二面角余弦值cosθ=n1*n2/(ln1lln2l)=2√7/7