Question

定积分的图像关于x轴对称，计算数值是0吗

如果有这么一个积分，图像表示为一四象限，关于x轴对称，那么它这个积分为0吗？

Answer 1

定积分的积分对象是函数，函数是y=f(x)的形式，并且在定义域内一个x只对应一个确定的y值，图中图像不能理解为一个函数图像，但可以看作两个函数分别为y1=f(x)和y2=-f(x)，这两个函数图像关于y轴对称。
两函数图像和x=a围成面积可以用定积分计算
∫『0,a』(y1 - y2) dx
= ∫『0,a』(f(x) - (-f(x))) dx
= 2∫『0,a』f(x) dx（不一定等于0，图中肯定不为0）
图中两个 函数的定积分相加的和
∫『0,a』y1 dx + ∫『0,a』y2 dx
=∫『0,a』f(x) dx + ∫『0,a』-f(x) dx
=∫『0,a』f(x) dx - ∫『0,a』f(x) dx
=0（一定为0，但不是面积的几何意义）

追答

那应该把y轴改为关于x轴对称

追问

万分感谢！简单明了！过程详细，感恩！

Answer 2

图像关于x轴对称，看y，y如果是奇函数，那么积分区域为零，如果偶函数，积分区域就是两倍

追问

那就是我那个图像应该是0还是两倍？

追答

你还要给出被积函数啊，你这个图像只能看出是关于x轴对称

追问

对，就问关于x轴对称的积分值等于0吗？定积分不是应该上下抵消吗？

Answer 3

我想说这个积分不等于零，除非积分函数关于y对称

追问

关于y对称才不等于0吧？

追答

而且f是奇函数

才可以

Answer 4

你要是算面积肯定是两倍，数值怎么算？积分的表达式是啥？你意思在同一区间分成两个积分？这样就是0喽

追问

没有积分表达式，就是如果有这么一个积分，图像表示为一四象限，关于x轴对称，那么它这个积分为0吗？

追答

是的