Question

如何证明数列单调有界

Answer 1

记Xn＝(1＋1/n)^n，按二项式定理展开：
Xn＝(1＋1/n)^n
＝1＋n/1!×1/n＋n(n-1)/2!×1/n^2＋n(n-1)(n-2)/3!×1/n^3＋.......＋n(n-1)(n-2)......*2*1/n!×1/n^n
＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
X(n+1)＝[1＋1/(n+1)]^(n+1)
＝1 ＋ (n+1)/1!×1/(n+1) ＋ n(n+1)/2!×1/(n+1)^2 ＋ (n+1)n(n-1)/3!×1/(n+1)^3＋.......＋(n+1)n(n-1)(n-2)......*2/n!×1/(n+1)^n ＋ (n+1)n(n-1)(n-2)......*2*1/(n+1)!×1/(n+1)^(n+1)
＝1＋1＋1/2!×(1－1/(n+1))＋1/3!×(1－1/(n+1))(1－2/(n+1))＋......＋1/n!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)]＋1/(n+1)!×[1－1/(n+1)][1－2/(n+1)]...[1－(n-1)/(n+1)][1－n/(n+1)]
X(n+1)比Xn多一项，且除了前面两个1以外的其余每项都比Xn的对应项小，所以Xn＜X(n+1)，所以数列{(1＋1/n)^n}单调
又
0＜Xn＝1＋1＋1/2!×(1－1/n)＋1/3!×(1－1/n)(1－2/n)＋......＋1/n!×(1－1/n)(1－2/n)...[1－(n-1)/n]
＜1＋1＋1/2!＋1/3!＋...＋1/n!
＜1＋1＋1/2＋1/2^2＋...＋1/2^(n-1)
＝3－1/2^n
＜3
所以，数列{(1＋1/n)^n}有界

追问

图片中的题怎么解呢

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Answer 2

假设x(k)<√3+1，则x(k+1)<√(3+√3+1)<√3+1，归纳可得x(n)<√3+1

Answer 3

1）Xn+1>Xn == 单调
2)Xn=√3+Xn-1<√(3+3)<3 == 有界