Question

高数题求解关于极限的一个疑惑问题

看这两题和答案解析，我想问什么时候讨论一个点的左右极限呢，第一题答案就没讨论0 1 0 -1左右的极限，而第二题只讨论了0的左右极限，那么我现在就是疑惑，什么时候该讨论左右极限呢





Answer 1

变号或左右值不等

Answer 2

1.1.33
f(x) = (x-x^3)/sin(πx)
lim(x->0) (x-x^3)/sin(πx)
=lim(x->0) (x-x^3)/(πx)
=lim(x->0) (1-x^2)/π
=1/π
可去间断点： x=0
lim(x->1) (x-x^3)/sin(πx) （0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->1) (1-3x^2)/[πcos(πx) ]
=(1-3)/(-π)
=2/π
可去间断点： x=1
lim(x->-1) (x-x^3)/sin(πx) （0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->-1) (1-3x^2)/[πcos(πx) ]
=(1-3)/(-π)
=2/π
可去间断点： x=-1
ans : C
1.1.34
原因
√(1+ 1/x^2) >0
0+ : 是比0 多一点。那 x >0
0- : 是比0 少一点。那 -x >0

x->0+
√(1+ 1/x^2) = √[(x^2+ 1)/x^2] = (1/x) √(x^2+ 1)
x->0-
√(1+ 1/x^2) = √[(x^2+ 1)/x^2] = (-1/x) √(x^2+ 1)
lim(x->0+) [ (x^2-x)/(x^2-1) ]√(1+ 1/x^2)

=lim(x->0+) [ 1/(x+1) ]√(x^2+1)
= 1
lim(x->0-) [ (x^2-x)/(x^2-1) ]√(1+ 1/x^2)
=lim(x->0-) [ -1/(x+1) ]√(x^2+1)
=-1
跳跃间断点 : x=0