Question

复变函数积分计算，大神帮忙看一下呗。谢谢🙏

Answer 1

(1)题，设f(z)=1/cosz。∴其奇点为z=(k+1/2)π，k=0，±1，±2，……。显然，在丨z丨=1内无极点。根据柯西积分定理，∴原式=0。
(2)题，设f(z)=1/(z+2)。∴其奇点为z=-2。显然，在丨z丨=1内无极点。根据柯西积分定理，∴原式=0。
(3)题，设f(θ)=(1+2cosθ)/(5+4cosθ)。∵f(θ)是偶函数，∴原式=(1/2)∫(-π,π)(1+2cosθ)/(5+4cosθ)。令z=e^(iθ)。∴原式=[1/(2i)]∮C(z²+z+1)dz/[z(2z+1)(z+2)]。其中C为丨z丨=1。再令f(z)=(z²+z+1)/[z(2z+1)(z+2)]。
又，被积函数在C内，有2个一阶极点z1=0、z2=-1/2。由柯西积分定理，原式=(1/2)(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
而，Res[f(z),z1]=1/2、Res[f(z),z2]=-1/2。∴原式=0。
供参考。

追问

你好，请问第一问是这么做吗？

谢谢🙏

追答

这样做“不合理”啊。∵z=π/2，丨z丨=π/2>1，表明z=π/2在丨z丨=1外面，即在丨z丨=1内无奇点，其留数为0。可直接得结果为0啊。

追问

那请问，这道题要是把z的模取为2呢

请问

您写在纸上拍给我就行。打字麻烦

追答

我都不麻烦，你嫌麻烦啊？^_^

追问

没有没有

怕你觉得麻烦呀

Answer 2

如图

追问

你好，请问这是用复变函数的知识解题的吗？

追答

😂😂抱歉，我直接算的

追问

没事儿没事儿，你会复变函数的积分吗？

追答

貌似不会耶

追问

哈哈，好