Question

设总体X~N(u,σ^2）,X1,....,Xn为X的样本，Y=

如图

Answer 1

Y=(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)

解题如下：

X~N(0,σ^2)E(X1+X2)

=EX1+EX2=0D(X1+X2)

=DX1+DX2

=2σ^2X1+X2~N(0,2σ^2)

同理：X1-X2~N(0,2σ^2)

所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)

所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1)X^2(n)

代表自由度为n的卡方分布

同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)

令A=1/2σ^2(X1+X2)^2B=1/2σ^2(X1-X2)^2

所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2=A/B=(A/1)/(B/1)

而这就是F(1,1)分布的定义

所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，...,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。

扩展资料：

从正态总体进行一次抽样就相当于独立同分布的 n 个正态随机变量ξ1，ξ2，…，ξn的一次取值，将 n 个随机变量针对总体均值与方差进行标准化得(i=1,…,n)，显然每个都是服从标准正态分布的，因此按照  分布的定义，应该服从参数为的分布。

如果将总体中的方差σ2 用样本方差 s2代替，它是否也服从  分布呢？理论上可以证明，它是服从  分布的，但是参数  不是 n 而是 n-1 了，究其原因在于它是 n-1 个独立同分布于标准正态分布的随机变量的平方和

我们常常把一个式子中独立变量的个数称为这个式子的“自由度”，确定一个式子自由度的方法是：若式子包含有 n 个变量，其中k 个被限制的样本统计量，则这个表达式的自由度为 n-k。比如中包含ξ1，ξ2，…，ξn这 n 个变量，其中ξ1-ξn-1相互独立，ξn为其余变量的平均值，因此自由度为 n-1

参考资料：百度百科-卡方分布

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

备注

Answer 3

X~N(0,σ^2)E(X1+X2)=EX1+EX2=0D(X1+X2)=DX1+DX2=2σ^2X1+X2~N(0,2σ^2)同理：X1-X2~N(0,2σ^2)所以1/√2σ(X1+X2)~N(0,1)1/√2σ(X1-X2)~N(0,1)所以1/2σ^2(X1+X2)^2~X^2(1)X^2(n)代表自由度为n的卡方分布同理1/2σ^2(X1-X2)^2~X^2(1)令A=1/2σ^2(X1+X2)^2B=1/2σ^2(X1-X2)^2所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2=1/2σ^2(X1+X2)^2/1/2σ^2(X1-X2)^2=A/B=(A/1)/(B/1)而这就是F(1,1)分布的定义所以(X1+X2)^2/(X1-X2)^2~F(1,1)