Question

定积分题。

Answer 1

1题(1)小题，设f(x)=x。将区间[1,2]n等分，则第i个等分点的xi=1+i/n，两个等分点间距离△xi=1/n，i=1,2,…,n。根据定积分定义，原式=lim(n→∞)∑f(xi)△xi=lim(n→∞) ∑(1+i/n)*(1/n)=1+lim(n→∞)∑i/n²= 3/2。
(2)，设f(x)=e^x。将区间[0,1]n等分，则第i个等分点的xi=i/n，两个等分点间距离△xi=1/n，i=1,2,…,n。根据定积分定义，原式=lim(n→∞)∑f(xi)△xi=lim(n→∞) (1/n)∑e^(i/n)。
而，∑e^(i/n)是首项、公比均为e^(1/n)的等比数列，∴∑e^(i/n)=(1-e)[e^(1/n)]/[1-e^(1/n)]。∴原式=lim(n→∞) (1/n)(1-e)[e^(1/n)]/[1-e^(1/n)]=e-1。
2题(1)小题，根据定积分的几何意义，积分表示的是y=2x+3、x轴、x=2、x=4所围成区域的面积。而，所围成区域是上底y=7、下底y=11、高为2的梯形，∴其值=(1/2)(11+7)*2=18。
(2)小题，根据定积分的几何意义，积分表示的是以原点为圆心、半径为1的上半圆的面积。∴其值=(1/2)π*1²=π/2。
(3)小题，根据定积分的几何意义，积分表示的是y=x³、x=±2所围成区域的面积。而，y=x³关于原点对称，∴所围成区域在第一象限和第三象限的面积相等、正负抵消，∴其值=0。
(4)小题，根据定积分的几何意义，积分表示的是y=丨x丨、x=±a所围成区域的面积。又，y=丨x丨关于y轴对称，∴所围成区域在第一象限和第二象限的面积相等、且是腰为a的等腰直角三角形，∴其值=2∫(0,a)xdx=2*(1/2)a²=a²。

Answer 2

楼上方法很好，建议采纳楼上

Answer 3

如图