Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD‖BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥B

D。（1） 求证：BE=AD；（2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；（3） △DBC是等腰三角形吗？并说明理由

Answer 1

①因为BD⊥CE
所以∠ECB+∠CBD=∠CBD+∠ABD=90°
所以∠ECB=∠ABD
又因为AB=BC
所以三角形ABD全等于三角形BCE
所以BE=AD
②因为E为AB的中点且BE=AD
所以AD=AE
又因为AB=BC∠ABC=90°
所以∠BAC=∠CAD=45°
又AC为公共边
所以三角形DAC全等于三角形EAC
所以CD=CE
又有AD=AE
所以AC是DE的垂直平分线
③是的，理由如下：
由②知CD=CE
由①知三角形ABD全等于三角形BCE
所以CE=BD=CD
即BD=CD
所以三角形DBC是以BC为底的等腰三角形

Answer 2

图在下

解：（1）证明：∵∠ABC=90°，BD⊥EC，
∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC，
∴△BAD≌△CBE，
∴AD=BE；

（2）∵E是AB中点，
∴EB=EA，
由（1）AD=BE得：AE=AD，
∵AD∥BC，
∴∠7=∠ACB=45°，
∵∠6=45°，
∴∠6=∠7，
由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE，即，AC是线段ED的垂直平分线；

（3）△DBC是等腰三角（CD=BD），理由如下：由（2）得：CD=CE，

由（1）得：CE=BD，

∴CD=BD，
∴△DBC是等腰三角形。