Question

这个不等式成立？

如附图的不等式成立吗？

Answer 1

n=2时a2=1/a1,
左-右=2+a1^2+1/a1^2-2(a1+1/a1)
=(a1+1/a1)^2-2(a1+1/a1)
=(a1+1/a1)(a1+1/a1-2)>=0,
不等式成立。
n=3时设a1=x,a2=y,a3=1/(xy),
左-右=3+x/y+xy^2+1/(x^2y)-[x+1/x+y+1/y+1/(xy)+xy]
记为f(x,y),下面用导数求驻点坐标。
f'x=1/y+y^2-2/(x^3y)-[1-1/x^2-1/(x^2y)+y]=0,
去分母得x^3+x^3y^3-2-x^3y+xy+x-x^3y^2=0,
x^3(y^3-y^2-y+1)+x(y+1)-2=0,①
f'y=-x/y^2+2xy-1/(x^2y^2)-[1-1/y^2-1/(xy^2)+x]=0,
-x^3+2x^3y^3-1-x^2y^2+x^2+x-x^3y^2=0,
x^3(2y^3-y^2-1)+x^2(1-y^2)+x-1=0,②
下面逐步降低x的次数。
①*（2y^2+y+1）-②*（y^2-1）,得
x^2(y^2-1)^2+x(2y^3+2y^2+2y+2)-3y^2-2y-3=0,③
③*x-①*（y+1）,得x^2(2y^3+2y^2+2y+2)-x(4y^2+4y+4）+2y+2=0,
两边都除以2，得x^2(y^3+y^2+y+1)-x(2y^2+2y+2）+y+1=0,④
③*(y^2+1)-④*(y+1)(y-1)^2,得2xy(y+1)^3-2(2y^4+y^3+2y^2+y+2)=0,
x=(2y^4+y^3+2y^2+y+2)/[y(y+1)^3],⑤
代入①*y^3(y+1)^8,得(y^2-2y+1)(2y^4+y^3+2y^2+y+2)^3
+(2y^4+y^3+2y^2+y+2)*y^2(y+1)^6-2y^3(y+1)^8=0,
(y-1)^2[(2y^4+y^3+2y^2+y+2)^3+y^2(y+1)^6*(2y^2+3y+2)]=0,
y>0,解得y=1.代入⑤，x=1.f(1,1)=0,可见n=3时不等式成立。
待续