Question

最近遇到的数学难题。是高三的。求学霸指教

1：已知C1：y=1/2p*x^2(p〉0）的焦点与C2：x^2/3-y^2=1的右焦点的线交C1于第一象限的点M。若C1的M处的线平行于C2的一条渐近线，求P的值

2：过（√2，0）引直线L与曲线y=√（1-x^2）相交与A,B两点，o为坐标原点，当oAoB面积最大时，求L的斜率。

3：已知C：y^2=8x与点M（-2，2），过C的焦点，且斜率为K的直线与C交与A,B两点，若→MA*→MB=0.求K
——————————————————求学霸解答。感激不尽

Answer 1

1由  x^2/3-y^2=1知：点m处 切线斜率为k=√3/3;c=2;
令m(x0,y0),在M处y0‘=x0/p=k,   故x0=(√3/3)p,y0=p/6,
此时三点（0，p/2）,(x0,y0),(2,0)确定直线，有(p/2-y0)/-x0=y0/(x0-2)
解得p=4√3;

2

3很明显，抛物线C的焦点坐标为（2，0），∴AB的方程可写成：y＝k（x－2）＝kx－2k，
∴A、B的坐标可分别设为（m，km－2k）、（n，kn－2k），
∴向量MA＝（m＋2，km－2k－2）、向量MB＝（n＋2，kn－2k－2）。

联立：y＝kx－2k、y^2＝8x，消去y，得：k^2x^2－4k^2x＋4k^2＝8x，
∴k^2x^2－（4k^2＋8）x＋4k^2＝0。
显然，m、n是方程k^2x^2－（4k^2＋8）x＋4k^2＝0的两根，∴由韦达定理，有：
m＋n＝（4k^2＋8）/k^2、mn＝4。

∵向量MA·向量MB＝0，∴（m＋2）（n＋2）＋（km－2k－2）（kn－2k－2）＝0，
∴mn＋2（m＋n）＋4＋k^2mn－（2k＋2）k（m＋n）＋（2k＋2）^2＝0，
∴（1＋k^2）mn－（2k^2＋2k－2）（m＋n）＋（2k＋2）^2＋4＝0，
∴4（1＋k^2）－（2k^2＋2k－2）（4k^2＋8）/k^2＋（2k＋2）^2＋4＝0，
∴（1＋k^2）－（2k^2＋2k－2）（k^2＋2）/k^2＋（k＋1）^2＋1＝0，
∴（1＋k^2）－（2k^4＋4k^2＋2k^3＋4k－2k^2－4）/k^2＋（k^2＋2k＋1）＋1＝0，
∴（1＋k^2）－（2k^2＋4＋2k－2）－（4k－4）/k^2＋k^2＋2k＋2＝0，
∴1－（4k－4）/k^2＝0，∴k^2－4k＋4＝0，∴（k－2）^2＝0，∴k＝2。