求教第二题幂级数的和函数
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容易求得幂级数的收敛域为(-1,1).
S(x)＝∑(n+1)/n x^n， x∈(-1,1)
则有
S'(x)＝∑ (n+1)x^(n-1).
∴ xS'(x)＝∑(n+1)x^n.
上式两边从0到x积分，得
∫(0,x) tS'(t)dt＝∑∫(0,x)(n+1)t^ndt＝∑x^(n+1)
＝x^2/(1-x).
上式两端对x求导，得
xS(x)＝[2x(1-x)-x^2(-1)]/(1-x)^2
∴ S(x)＝(2-x)/(1-x)^2＝1/(1-x)^2+1/(1-x) .
S(x)＝∑(n+1)/n x^n， x∈(-1,1)
则有
S'(x)＝∑ (n+1)x^(n-1).
∴ xS'(x)＝∑(n+1)x^n.
上式两边从0到x积分，得
∫(0,x) tS'(t)dt＝∑∫(0,x)(n+1)t^ndt＝∑x^(n+1)
＝x^2/(1-x).
上式两端对x求导，得
xS(x)＝[2x(1-x)-x^2(-1)]/(1-x)^2
∴ S(x)＝(2-x)/(1-x)^2＝1/(1-x)^2+1/(1-x) .
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