Question

求根号下（16-x^2）dx积分

Answer 1

要用第二类换元法。是x等于4sint.
然后原式就等于16costdsint=16(cost)^2dt=(8cos2t+8)dt=4sin2t+8t，在吗？x带回去化简一下就可以了。

Answer 2

∫（4,0）√16－x² dx
令x=4sint，所以dx=4costdt，上限为π/2，下限为0
原式=∫（π/2，0）√16（1－sin²t）×4costdt
=∫（π/2，0）16cos²t dt
=∫（π/2，0）16×（cos2t＋1）/2 dt
=8【∫（π/2，0）cos2tdt＋∫（π/2，0）1dt】
=8【1/2 sin2t｜（π/2，0）＋t｜（π/2，0）】
=4π

Answer 3

∫√(16-x^2)dx
=x√(16-x^2)+∫x^2/√(16-x^2)*dx
=x√(16-x^2)-∫√(16-x^2)dx+16∫dx/√(16-x^2),
所以∫√(16-x^2)dx
=(x/2)√(16-x^2)+8arcsin(x/4)+c.

Answer 4

解如下图所示

Answer 5

let
x=4sinu
dx=4cosu du
∫√(16-x^2) dx
=16∫ (cosu)^2 du
=8∫ (1+cos2u) du
=8[u +(1/2)sin2u] +C
=8u +4sin2u+ C
=8arcsin(x/4) + 8(x/4)[√(16-x^2)/4] +C
=8arcsin(x/4) + (1/2)x√(16-x^2) +C

追问

问下4sin2u 带u回去u为啥不是2arcsin（1/4x）？