Question

一道数学题，求大神们帮忙解决，急求，感谢！

∠ABD=∠ACD=90°，AB=AC=√2，BD=CD=1，P为AB中点，M为AD上的动点，求PM+0.5√2CM的最小值

Answer 1

以D点为原点建立直角坐标系，容易得出A,B,C,D,P点坐标，因为tan45°=√2/2，构造一个直角三角形以CM为斜边，且底角为45°，那么考虑用两直线夹角来求。即CD与CM的夹角，夹角公式为
tanθ=|(k2-k1)/(1+k1k2)|
其中CD的斜率由题目易知为√2/2，
假设M点坐标为(0,y)，C点坐标上面已求，
通过C,M两点坐标得到CM的斜率，然后通过夹角公式，算出y值，也就得到了M点坐标，再过M点做直线CD的垂线交CD于点M'.
通过两直线垂直则k1*k2=-1,
因为直线CD方程为y=√2/2x,
那么假设M'坐标为(x,√2/2x).
那么M点坐标已求，也MM'斜率可知，可算出x的值，那么M'坐标就知道了
现在就是证明P,M,M'三点共线，
因为P点坐标和M'坐标均已求出，也直接验证PM'的斜率和CD的斜率相乘是否等于-1，也就验证了这三点共线。
接下来就是说明MM'=√2/2CM，所以有
PM+√2/2CM=PM+MM',
前面已证P,M,M'三点共线，
最后作用两点间距离公式，并带入这三点坐标即为所求。
计算部分自己计算吧

追问

我照你说的画了，但P，M，M'不共线呀，还请大神帮忙！！！

追答

那就只能用笨办法了，硬算，设M点坐标为(0,y),得到PM和DM的表达式，然后对y求导，当PM关于y的导数等于√2/2DM关于y的导数时即为所求