Question

高一数学对数函数问题

Answer 1

答：
f(x)=log1/2[(1-ax)/(x-1)]为奇函数
1）
f(-x)=log1/2[(1+ax)/(-x-1)]=-f(x)
=log1/2[(x-1)/(1-ax)]
所以：(1+ax)/(-x-1)=(x-1)/(1-ax)恒成立
所以：1-(ax)²=1-x²
所以：(a²-1)x²=0恒成立
所以：a²=1，a=1或者a=-1
a=1时：f(x)=log1/2[(1-x)/(x-1)]=log1/2(-1)无意义，a=1不符合舍去
所以：a=-1
2）
f(x)=log1/2[(1+x)/(x-1)]
定义域满足：(1+x)/(x-1)>0
1+x>0并且x-1>0：x>1
1+x<0并且x-1<0：x<-1
设m>n>=1：
f(m)-f(n)
=log1/2[(m+1)/(m-1)]-log1/2[(n+1)/(n-1)]
=log1/2 {(m+1)(n-1)/[(m-1)(n+1)]}
=log1/2 [(mn-m+n-1)/(mn+m-n-1)]
=log1/2 {[(mn-1-(m-n)]/[mn-1+(m-n)]}
因为：m>n>=1
所以：mn>1，m-n>0
所以：0<mn-1-(m-n)<mn-1+(m-n)
所以：0<[mn-1-(m-n)]/[(mn-1+(m-n)]<1
所以：f(m)-f(n)=log1/2 {[(mn-1-(m-n)]/[mn-1+(m-n)]}>log1/2(1)=0
所以：f(m)>f(n)
所以：f(x)在x>=1时是单调递增函数