Question

已知数列{an}的首项a1=3,前n项和为Sn,且Sn+1=3Sn+2n(n∈N*)

记Tn为数列{an+1}前n项和，求[Tn+(1/2)]/(Tn+2的n次方)的最小值

求详解，要过程，谢谢

Answer 1

S(n+1)=3Sn+2n
S(n+1)-Sn=2Sn+2n
a(n+1)=2Sn+2n
an=2S(n-1)+2(n-1) (n>=2)
相减得:
a(n+1)-an=2an+2 (n>=2)
a(n+1)=3an+2 (n>=2)
a(n+1)+1=3[an+1] (n>=2)
从第三项开始,{an+1}是等比关系,后一项等于前一项的3倍.
S(n+1)=3Sn+2n 中,令n=1
S2=3S1+2=11
a2=S2-a1=8
a1+1=4,a2+1=9
a2+1不是a1+1的3倍.
{an+1}不是等比数列.
n>=2时,an+1=(a2+1)*3^(n-2)=9*3^(n-2)=3^n所以，Tn=1+3+3^2+.......3^n=(3^(n+1)-1)/2,
所以[Tn+(1/2)]/(Tn+2^n)=[3^(n+1)/2]/[(3^(n+1)+2^(n+1)-1)/2]=3^(n+1)/(3^(n+1)+2^(n+1)-1)
记Rn=3^(n+1)/(3^(n+1)+2^(n+1)-1),则1/Rn=1+(2^(n+1)-1)/3^(n+1),1/Rn-1/Rn+1=(2^(n+1)-2)/3^(n+2)>0，所以1/Rn递减，当n=1时，1/Rn取最大值即1/R1=4/3，所以Rn的最小值为R1=3/4，即[Tn+(1/2)]/(Tn+2^n)的最小值为3/4。