Question

一个圆关于直线x＋2y－3＝0与圆(x－3)²＋(y＋1)²＝1对称，求此圆的方程

Answer 1

解：设此圆的圆心为O1(a，b)，
因为 圆(x－3)²＋(y＋1)²＝1的圆心是O(3，-1)，半径是1，
所以 OO1的斜率是(b+1)/(a-3)，
因为 直线x＋2y－3＝0是两圆的对称轴，又其斜率是-1/2，
所以 (b+1)/(a-3)=2 即：2a-b-7=0 （1）
在直线x+2y-3=0上任取一点A(1，1），则IAOI=IAO1I
所以有：(3-1)^2+(-1-1)^2=(a-1)^2+(b-1)^2
化简整理得：(a-1)^2+(b-1)^2=8 （2）
解（1）、（2）组成的方程组得：a=?，b=?，
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Answer 2

此圆的方程: (x- a)^2 +(x-b)^2 = 1, 圆心 C2= (a, b)
圆(x－3)^2＋(y＋1)^2＝1, 圆心 C1 = (3,-1)
C = C1 , C2 的中点 =( (a+3)/2, (b-1)/2 )
C 在 直线x＋2y－3＝0 上
(a+3)/2 + (b-1) - 3 =0
a+3 +2(b-1) -6 =0
a+2b = 5 (1)
C1C2 垂直 x＋2y－3＝0
(b+1)/(a-3) = 2
b+1 =2a-6
2a-b=5 (2)
2(2)+(1)
5a= 15
a=3
from (1)
a+2b = 5
3+2b=5
b=1
此圆的方程
(x- a)^2 +(x-b)^2 = 1
(x- 3)^2 +(x-1)^2 = 1

Answer 3

设圆心坐标为（a，b），则
（1）a+2b-3 = -(3-2-3)，
（2）(b+1)/(a-3) * (-1/2) = -1，
由以上两式可解得 a=19/5，b=3/5，
又圆半径不变，为 1，
所以所求圆方程为 (x-19/5)^2+(y-3/5)^2 = 1。