Question

高二数学 急急急  已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个

高二数学 急急急  已知椭圆C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的一个焦点F（1，0），且离心率为二分之一 求椭圆c的方程 设经过点f的直线与椭圆c交于m，n两点 a为椭圆c的右顶点 求（1）若mn与x轴垂直，求证 ＜man 为钝角 （2）若线段mn的垂直平分线与y轴交于点p（0，yo）求yo 的取值范围

Answer 1

一个焦点F为（1，0），
——》c=1，
离心率e=c/a=1/2，
——》a=2，b=√(a^2-c^2)=√3，
——》椭圆C为：x^2/4+y^2/3=1，
（1）、若mn与x轴垂直，
——》Lmn为x=1，
——》M、N的坐标为(1，3/2)、(1，-3/2)，
A的坐标为(2，0)，
——》AM=AN=√[(2-1)^2+(3/2)^2]=√13/2，MN=3/2-(-3/2)=3，
cos∠MAN=(AM^2+AN^2-MN^2)/2*AM*AN=-5/13<0，
——》90°<∠MAN<180°，即∠MAN为钝角；
（2）、设MN的斜率为k，则Lmn为：y=k(x-1)，代入椭圆方程，
——》(4k^2+3)x^2-8k^2x+(4k^2-12)=0，
——》xm+xn=8k^2/(4k^2+3)，
——》MN中点B的坐标为：xb=(xm+xn)/2=4k^2/(4k^2+3)，
yb=k(xb-1)=-3k/(4k^2+3)，
线段MN垂直平分线的斜率k'=-1/k，
——》方程为：y-yb=-1/k*(x-xb)，代入x=0，
——》y0=yb+xb/k=k/(4k^2+3)，
(4k^2+3)/丨k丨=4丨k丨+3/丨k丨>=4√3，
——》丨k丨/(4k^2+3)<=1/4√3=√3/12，
——》-√3/12<=k/(4k^2+3)=y0<=√3/12，
即y0的取值范围为[-√3/12，√3/12]。