Question

已知函数f(x)=ax+blnx+c, 在x=e处切线方程

（2013•南开区一模）已知函数f（x）=ax+blnx+c（a，b，c为常数且a，b，c∈Q）在x=e处的切线方程为（e-1）x+ey-e=0．
（I）求常数a，b，c的值；
（Ⅱ）若函数g（x）=x2+mf（x）（m∈R）在区间（1，3）内不是单调函数，求实数m的取值范围；
第二问可以用参变分离做吗

Answer 1

（1）在 (e-1)x+ey-e=0 中令 x=e 得 y=2-e ，
所以 ae+b+c=2-e ，由于 a、b、c 都是有理数，所以 a= -1 ，b+c=2 ，--------------（1）
由 f '(x)=a+b/x 得 k=a+b/e=(1-e)/e ，所以 b= 1 ，a= -1 ，-----------（2）
以上两式解得 a= -1 ，b=1 ，c=1 。
（2）由（1）得 g(x)=x^2-mx+mlnx+m ，
则 g '(x)=2x-m+m/x ，
因为 g(x) 在（1，3）内不是单调函数，因此 g '(x)=0 在（1，3）内有根，
由 2x-m+m/x=0 得 m=2x^2/(x-1)=2(x-1)+2/(x-1)+4 ，
由于 1<x<3 ，所以 0<x-1<2 ，
由均值定理得 m>=2*√4+4=8 ，
因此 m 取值范围是 m>=8 。