Question

数列待定系数法怎么用

Answer 1

针对此类问题，我自己总结了一下（绝对原创，不添加任何防腐剂）

an+1=can+a^n

(1)当a=c时,a(n+1)=can+c^n,
两边同时除以c^(n+1)得:
a(n+1)/c^(n+1)=an/c^n+1/c
设bn=an/c^n,
∴b(n+1)=bn+1/c
∴bn=b1+1/c(n-1)=n/c+b1-1/c=n/c+a1/c-1/c=(n+a1-1)
∴an=c^n(n+a1-1)

例子：a1=1,a(n+1)=3an+3^n
两边同时除以3^(n+1)得 ：
a(n+1)/3^(n+1)=an/3^n+1/3
设bn=an/3^n,b1=a1/3=1/3
∴b(n+1)=bn+1/3
bn=1/3+1/3(n-1)=n/3
∴bn=3^n×n/3=n×3^(n-1)

(2)当a≠c时，a(n+1)=can+a^n
设a(n+1)-λa^(n+1)=c[an-λa^n]
∴a(n+1)=can+(aλ-cλ)a^n
∴aλ-cλ=1
∴λ=1/(a-c)
∴a(n+1)-a^(n+1)/(a-c)=c[an-a^n/(a-c)]
设bn=an-a^n/(a-c),b1=a1-a/(a-c)
∴b(n+1)=cbn
∴bn=b1×c^(n-1)
∴an=a^n/(a-c)+b1×c^(n-1)

例子:a1=1,a(n+1)=2an+3^n
∴设a(n+1)-λ3^(n+1)=2[an-λ3^n]
∴a(n+1)=can+(3λ-2λ)a^n
∴λ=1
∴a(n+1)-3^(n+1)=2(an-3^n)
设bn=an-3^n,b1=1-3=-2
∴b(n+1)=2bn
∴bn=-2×2^(n-1)=-2^n
∴an=3^n-2^n

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