Question

x、y为实数,求5x²+2y²-2xy-4x-4y+9的最小值

x、y为实数,求5x²+2y²-2xy-4x-4y+9的最小值

Answer 1

5x²+2y²-2xy-4x-4y+9
=(x²-2xy+y²)+(4x²-4x+1)+(y²-4y+4)+4
=(x-y)²+(2x-1)²+(y-2)²+4
x-y、2x-1、y-2均恒非负，由均值不等式得，当x-y=2x-1=y-2时，(x-y)²+(2x-1)²+(y-2)²有最小值
此时解得x=0 y=1 x-y=2x-1=y-2=-1
5x²+2y²-2xy-4x-4y+9=(-1)²+(-1)²+(-1)²+4=7
5x²+2y²-2xy-4x-4y+9的最小值为7。

Answer 2

5x²+2y²-2xy-4x-4y+9=

4(x²-x)+(y²-4y+4)+(x²-2xy+y²)+5=

4(x²-x+1/4)+(y²-4y+4)+(x²-2xy+y²)+4=
4(x - 1/2)² + (y - 2)² + (x - y)² + 4
x=y=1
最小值：4+2=6

追问

当x=0.5,y=1.25时，原式=5.125！

追答

原来如此，我想错了。
x=1/2 y-2 = x - y 2y=2.5 y=1.25
才对的。不好意思了。。

追问

那为什么这样最小

追答

我也不知道，不好意思。

追问

看你精神可嘉，给你吧

我现在知道了