如图，△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，DF⊥BC，交BA的延长线于F，交AC于E。求证：AD²=DE*DF
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本题主要用到两个知识点，其中一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半；另外一个是直角三角形斜边上的垂线所分成的两个直角三角形和原直角均相似；
如图所示：
E为AC中点，则AE=DE；角EAD=EDA；又因为AD是垂线，所以三角形ADB、ACD、ABC均相似；则角EAD=ABD=ADE;
则角DBF=ADF；且角F是共角，则三角形FBD、FAD相似；
则BF:DF=BD:AB；
又因为三角形ABD和ABC相似；则BD:AB=AB:AC；
即AB:AC=BF:DF
如图所示：
E为AC中点，则AE=DE；角EAD=EDA；又因为AD是垂线，所以三角形ADB、ACD、ABC均相似；则角EAD=ABD=ADE;
则角DBF=ADF；且角F是共角，则三角形FBD、FAD相似；
则BF:DF=BD:AB；
又因为三角形ABD和ABC相似；则BD:AB=AB:AC；
即AB:AC=BF:DF
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