Question

证明n维向量组a1，a2，…，an线性无关的充分必要条件是：任一n维向量a都可以由它们线性表示。

Answer 1

证明：充分性：若任一n维向量a都可以n维向量组a1，a2，…，an线性表示，
那么，特别地，n维单位坐标向量组也都可以由它们线性表示，
又向量组a1，a2，…，an也可由n维单位坐标向量线性表示，
所以，向量组a1，a2，…，an与n维单位坐标向量组等价，
而n维单位坐标向量组是线性无关组，
从而向量组a1，a2，…，an也是线性无关组。
必要性 若n维向量组a1，a2，…，an线性无关，又任意n+1个n维向量必线性相关，

设a是任一n维向量，则向量组a,a1，a2，…，an线性相关，
故a可以由a1，a2，…，an线性表示。

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