Question

八年级数学第十四章《整式的乘除与因式分解》之因式分解

已知1+x+x²+x³=0。

求1+x+x²+x³+…+x^2015的值。

麻烦把过程写详细一些，谢谢！
是这样子的吗？——解：原式=1+x+x²+x³+x^4+x^5+x^6+x^7+...+x^2009+x^2010+x^2011+x^2012+x^2013+x^2014+x^2015=（1+x+x²+x³）+（x^4+x^5+x^6+x^7）+...+（x^2009+x^2010+x^2011+x^2012）+x^2013+x^2014+x^2015=（1+x+x²+x³）+（x^4+x^5+x^6+x^7）+...+（x^2009+x^2010+x^2011+x^2012）+x^2013（1+x+x²）=（1+x+x²+x³）+x^4（1+x+x²+x³）+...+x^2013（1+x+x²）∵1+x+x²+x³=0∴（1+x+x²+x³）+x^4（1+x+x²+x³）+...+x^2013（1+x+x²）=0+0+...+0+x^2013（-x³）=-x^2016

Answer 1

因为1+x+x^2+x^3=0,(x+1）^2=x^2+2x+1
所以使原式加x再减x，得1+x+x^2+x^3+x-x=0
所以 （x+1)^2+x^3-x=0
(x+1)^2+x(x^2-1)=0
(x+1)^2+x(x+1)(x-1)=0
(x+1)[(x+1)+x(x-1)]=0
因为两项相乘=0，所以至少有一项为0
当（x+1)=0时，x=-1,当[(x+1)+x(x-1)]=0时，x无解
所以x有唯一值即x=-1
因为-1的奇数次幂即(-1)^(2n+1），（n为自然数）
=(-1)^2n*(-1)=-1
-1的偶数次幂即(-1)^2n=1
所以1+x+x^2+x^3+...+x^2015
=1+(-1)+1+(-1)+...+(-1)共2016项，相邻两项和为0
所以所求式=0

Answer 2

解： 1+x+x²+x³=0
1+x+x²（1+x）=0（因式分解）
(1+x)+x²(1+x)=0（因式分解）
(1+x)(1+x²)=0 (提公因式）
x=-1
原式=1-1+1-1+……+-1=0

Answer 3

你做的不对，每4个一组，第一组不说了，从第二组开始提取x的4次方，第三组提取x的8次方，接下来12次方，16次方，一直到提取2012次方，刚好四个一组

Answer 4

x06+X05+X+1=0
=X06+X05+X=-1
X=-1
X^2012=1